目录

  1. 原理
  2. 数据集
  3. 代码
  4. 结果
  5. TensorBoard
  6. END

主成分分析（PCA）是一种常用的数据降维方法，可以将高维数据在二维或者三维可视化呈现。具体原理我在这里就不再详述，网上有很多教程都不错，可以参考 这里 或者 PCA 的维基百科页面。

Principal component analysis (PCA) is a statistical procedure that uses an orthogonal transformation to convert a set of observations of possibly correlated variables into a set of values of linearly uncorrelated variables called principal components.

原理

我在这里简单的叙述下。假设我们的数据集是 $m×n$ 的，即 $m$ 个样本，每个样本 $n$ 个属性（特征），那么我们想要将这些数据呈现在图上，以便让我们对数据有个直观的了解或者其他用途。换句话说，需要 $n<=3$ ，一般来说为 2（平面） 或者 3（立体），需要一种变换来让新产生的属性可以代替原来的属性，可以通过下式来变换， 其中 $Y$ 是变换后的新属性，$X$ 是原始属性，$W$ 是变换矩阵，而这个变换矩阵的列是 $X^TX$ 的特征向量。$Y$ 中的新变量依据该变量对原始变量的解释能力（解释的总方差）从高到低排序，那么第一个就称为第一主成分，第二个就称为第二主成分，以此类推。假如我们需要降到 3 维以便于我们可视化，那就取前三个主成分作为原始属性的代表。即假如原来每个样本有 64 个属性，那么现在每个样本就有 3 个属性，就可以绘图了。

数据集

本文使用的数据集不是完整的 MNIST 数据集，而是 scikit-learn 自带的手写数字识别数据集。

这里写图片描述这里写图片描述

该数据集的信息如下：

  • 类别数：10
  • 每类样本数：约为180
  • 总样本数：1797
  • 特征维数：64（8*8）

代码

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from sklearn import datasets
from sklearn import decomposition
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import seaborn
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
%matplotlib notebook

mnist = datasets.load_digits()
X = mnist.data
y = mnist.target
pca = decomposition.PCA(n_components=3)
new_X = pca.fit_transform(X)

fig = plt.figure()
ax = fig.gca(projection='3d')
ax.scatter(new_X[:, 0], new_X[:, 1], new_X[:, 2], c=y, cmap=plt.cm.spectral)
plt.show()

结果

这里写图片描述这里写图片描述
这里写图片描述这里写图片描述

结果如上图，实际上这个图是可以来回拖动和缩放的，所以建议在本地实际运行程序。图中每个颜色代表一个数字（0-9），可以大致看出每类数字分布在相近的区域。

此外，可以使用 pca.explained_variance_ratio_ 查看各个主成分解释的总方差：[ 0.14890594, 0.13618771, 0.11794594] ，这三个主成分解释了大约 40% 的原始信息，这个比例还是很低的，不过我们这里的目的是可视化而不是抽取信息。使用 pca.get_covariance() 得到上文提到的变换矩阵。

TensorBoard

12月7号 Google 在其开发者博客中宣布了一个开源的高维数据可视化工具：Open sourcing the Embedding Projector: a tool for visualizing high dimensional data，其中一个是在和 TensorFlow 一起使用的 TensorBoard ，另一个是独立版本，用户可以直接在网页上访问，地址在 这里（可能需要梯子）。如下图：

这里写图片描述这里写图片描述

目前有 4 个数据集可以选择：Word2Vec All（71291×200），MNIST（10000×784），Word2Vec 10K（10000×200），Iris（150×4），可以选择是否用颜色标注、降维方法（T-SNE，PCA，自定义）、夜间模式、3D标签模式等。以MNIST为例，可以看到这三个主成分对原始信息的解释比例只有 25.9%。

END